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12/04/25 18:27
근의 공식(?) 을 써서 저 이차식이 2개의 근을 갖는 조건을 보면 8<a<12가 나옵니다.
그런데 문제에서 정수인 두 일차식이 "서로 다른 정수" 라는 말이 없으므로 a가 12일 때, 주어진 이차식에서 x는 11을 중근으로 갖습니다. (x-11)(x-11) 이렇게. 최대값은 12라고 보면 되겠네요.
12/04/25 18:41
대충 짱구 굴려서 위 조건 만족하는 정수 a 는 8와 12 밖에 없는거 같은데요.
최대값이니 12... a*10 + 1 을 두 정수의 곱으로 표현할 수 있는 경우의 수가 몇개 안되서..
12/04/25 19:01
일단 최고차항이 1인 이차방정식에서 두 근이 정수이므로
두 근의 합도 정수입니다. 근과 계수와의 관계를 이용하면 a도 정수임을 알 수 있구요. 윗 분들이 설명해주신것에 약간의 수정을 하자면 근의공식을 이용해서 두 근을 가질 조건을 구하는 것이 아니고, 근의 공식에서 루트속에 있는 a²-20a+96이 제곱수여야 합니다. 그렇게 되는 경우 a중 정수 a는 8과 12밖에 없고, 이 중 최댓값은 12가 되겠네요.
12/04/25 19:02
음... 좀 과정이 더러워서 마음에 안 드는데 일단 써봅니다.
위 식을 풀어쓰면 x^2-(10+a)x+10a+1. 인수분해를 한다면 (x-p)(x-q)가 될 것이며, 이 p,q는 x^2-(10+a)x+10a+1=0의 근일 겁니다. 그럼 p,q를 구하기 위해 근의 공식을 쓰면 p = [(10+a)+sqrt (10+a)^2-4(10a+1) ]/2, q=[(10+a)-sqrt(10+a)^2-4(10a+1) ]/2겠죠.
즉 p,q가 정수가 되려면 sqrt (10+a)^2-4(10a+1) 안의 (10+a)^2-4(10a+1)=a^2-20a+96이 제곱수가 되어야 합니다.
a^2-20a+96 = k^2이라고 놓아보죠. 여기서 k는 정수이어야 합니다. a^2-20a+96-k^2=0라고 놓고 근의 공식 짝수 공식을 적용하면 a=10 +- sqrt k^2+4
즉, k^2+4가 또 제곱수가 되어야하는데 이걸 만족하는 k는 0밖에 없습니다. 따라서 a= 10+- 2 = 8 또는 12, 최대값을 찾고 있으므로 a=12입니다. 누군가 더 간명한 풀이를 써주셨으면 하네요.;
12/04/25 19:09
문제를 보시면 아시겟지만 a와 x는 정수에 닫혀있습니다. 즉,(x-a)(x-10)= -1입니다. 이걸 만족하려면 1x (-1)이여야 하기때문에
a는 8아니면 12입니다. 근의 공식이라거나 판별식이 아닌 정수에 닫힘을 이해하고있는가 를 묻는거죠, 아니 어쩌면 이차방정식을 =0 이아니라 =어떤 특정수로 바꾸어서 생각할수있는가일지도??
12/04/25 19:28
부정방정식 문제인듯 하네요. 두 근을 m, n 이라 둔다면 근과 계수의 관계에 의해
m+n=a+10 ---1번, mn=10a+1 ---2번 (m,n,a 는 정수) 1번에서 a=m+n-10 이므로 2번에 대입 mn=10(m+n-10)+1 10m+10n-mn=99 (m-10)(n-10)=1 이므로 (m,n)=(11,11) or (9,9) a=m+n-10 이므로 12 or 8 최댓값은 12
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