이런 글이 피지알에서 환영받을지 잘 모르겠지만, 어차피 이번 학기에 공학 수학을 가르치게 되어서 강의 노트를 만들어야 하는 관계로, 기왕 만드는 김에 피지알용 한글 교양 버전을 연재해볼까 합니다. 내용은 Greenberg 의 Advanced Engineering Math 를 기본으로 하며, 원래 이 책은 학부 고학년 ~ 대학원생을 대상으로 하는 책입니다. 하지만 피지알에서 연재하는 수준은 학부 2학년 혹은 공수를 들은 지 오래되어서 기억이 가물가물한 분들을 대상으로 잡았습니다. 연재를 하다 보면 수학 괴물분들이 '응? 그거 아닌 데요?' 라고 댓글을 달아주실 수도 있는데, 대환영입니다. 저도 기억이 가물가물하거든요.

웬만하면 한 학기 동안 연재하고 싶지만, 제가 뭐 철면피도 아니니만큼 이 글을 연재하다가 조회수 42 댓글 0 같은 상황이 발생하면 알아서 연재를 중단하도록 하겠습니다.

1부 - 미분 방정식 개요

1. 미분 방정식이란 뭐냐?

는 당연히 방정식 중에서 미분항이 있는 방정식이죠. 예를 들어서 그 유명한 뉴턴의 2법칙 F=ma (잠정적으로, F 에 대한 정보는 우리가 완벽하게 알고 있다고 치겠습니다) 도 보기에 따라서는 미분 방정식입니다. 왜냐하면 a 는 가속도항이고, 가속도는 속도 V 의 미분항이고 위치 x 의 이차 미분항이죠. 따라서 F=ma 는

F=mV' 이라는 1차 미분 방정식이라고 볼 수도 있고,
F=mx'' 이라는 2차 미분 방정식이라고 볼 수도 있습니다.
물론 원래폼 그대로 F=ma 라는 일반적인 대수 방정식이라고 볼 수도 있습니다.

다 같은 방정식인데 왜 말이 달라지나요? 님 지금 키배함? 이라고 하시면 곤란합니다. 원래 내가 알고 싶던 것이 가속도였다면 F=ma 를 이용해서 가속도만 구하면 되니까 대수 방정식인 거고, 알고 싶은 것이 위치 정보라면 F=mx'' 를 적분해서 x 값을 구해야 하기 때문에 미분 방정식이라고 부르는 거지요. 즉, 주어진 방정식이 미분 방정식이냐 아니냐는 '내가 관심 있는 변수가 방정식 속에서 어떤 방식으로 표현되어 있는가' 에 따라서 정해집니다. y 가 궁금한데 방정식 속에 y 가 그대로 등장하면 대수 방정식인 거고, y''' 형식으로 등장하면 3차 미분 방정식이 됩니다.

2. 미분 방정식은 어떻게 푸냐?

위의 F=mx'' 같은 놈은 쉽죠. 그냥 양쪽을 두 번 적분하면 바로 x = 적분적분(F) 이라는 해가 나옵니다. 물론 F 를 이중 적분하는 것이 반드시 쉬운 것은 아니지만, 하여튼 우선 해가 나오긴 나온 거죠.

대부분의 미분 방정식은 저렇게 녹록하지 않습니다. 예를 들어서 F=mx'' + cx' 라는 식으로 다른 미분항이 방정식에 짜잔~ 하고 등장하게 되면, 방정식 자체를 단순히 적분하는 방식으로는 x 가 무엇인지 알 수 없지요.

해서 공학 수학에서 가장 먼저 배우는 것 중 하나는, 미분 방정식 중에서 '풀리는 놈들' 이 무엇인지 배우고, '풀리는 놈들은 어떻게 풀리는 건지' 배우는 것입니다. 이건 앞으로 긴 이야기니까 여기서는 이 정도로 접지요.

3. 미분 방정식 그딴 거 왜 공부하냐?

왜냐하면 수많은 물리 시스템을 수학적으로 추상화하게 되면..... 미분 방정식이 되기 때문입니다! 너무 당연한 이야기인데, 의외로 까먹고 사는 분들이 많지요. 위에서 말씀드린 F=ma 도 미방이고, 맥스웰 방정식도 미방이며, 나비에-스톸스 방정식도 미방이고, 자이로스코프의 지배 방정식도 미방입니다. 즉 미방을 이해하지 못하는 사람은 공학자로서 굉장히 큰 약점이 하나 생기는 겁니다. 권투선수가 라이트 스트레이트를 쓸 수 없는 것과 비슷하다고 할 수 있겠지요.

4. 편미방은 뭐고 상미방은 뭐냐?

상미방 (Ordinary Differential Equation) 은 독립 변수가 하나인 놈입니다. 다시 F=mx'' 의 예로 돌아가 볼 때, F 가 완벽하게 알려져있다는 전제 하에서 (5번에서 다시 말씀드리겠지만, F 가 뭔지 명시적으로 알 수 없는 경우도 많습니다), 이 계의 독립 변수는 시간 (t) 입니다. 시간이 흘러가면 x 값이 변하죠. 다른 독립 변수는 없습니다. 이런 놈들이 상미방입니다.



[상미방은 이렇게 생겼습니다. 구글에서 아무거나 가져온 거니까 디테일은 신경 쓰지 맙시다. 여기서 중요한 것은 각 미방에서의 독립변수가 하나뿐이라는 점입니다. 첫 번째와 두 번째 방정식에서는 t 가 독립변수이고 세 번째 방정식에서는 x 지요. 방정식이 표현하려는 물리계가 뭐냐에 따라서 변수의 이름은 자기 마음대로 줄 수 있는 거니까 알파벳 자체는 신경 끕시다.]

편미방 (Partial Differential Equation) 은 독립 변수가 두 개 이상인 놈입니다. 예를 들어서 물의 표면에서 파동이 움직이고 있다고 치지요. 이 경우에는 같은 시간 t 의 순간에도 우리가 어디를 보고 있느냐에 따라서 파동의 높이는 다 다릅니다.


따라서 파동의 높이 (이걸 u 라고 칩시다) 라는 변수는 시간 t 와 위치 x 라는 두 개의 독립 변수를 둘 다 알아야 결정됩니다. 이런 것들을 묘사하려면 편미방이 필요하지요.



[그리고 파동을 지배하는 방정식은 위처럼 생겼습니다. 보기만 해도 막 기분이 좋아지죠?]

5. 응? 편미방? 내가 어디서 연립 미분 방정식이란 말을 들었는데, 그게 편미방임?

아닙니다. 연립 미분 방정식이란 것은 종속 변수가 여러 개라는 뜻입니다. 예를 들어서



두 개의 장난감 자동차가 두 개의 스프링으로 묶여서 막 부들부들 떠는 시스템을 상상해봅시다. 이 경우 이 두 개의 자동차를 지배하는 방정식은 뉴턴 2법칙입니다. 그리고 독립 변수는 시간 t 하나지요. 따라서 이 시스템을 묘사하는 방정식은 상미분 방정식일 수밖에 없습니다.

근데 우리가 필요한 위치 정보는 두 개지요. 첫 번째 자동차의 위치 정보가 x1 이고 두 번째 자동차의 위치 정보가 x2 라면, 우리는 동일한 형태의 뉴턴 방정식을 두 개 풀어야 합니다.

F=mx1'' & F=mx2''

이렇게 두 개요. 그리고 이 두 개의 방정식 속에 들어가는 F 항들은 서로의 위치 관계에 따라서 실시간으로 변합니다 (4 번과는 달리, F 가 외부에서 확실히 정해져서 가해지는 것이 아니라 위치 관계 X1 vs X2 에 따라서 변합니다). 그러니까 두 개의 방정식을 동시에 풀어야만 두 개의 위치 정보를 구할 수 있지요. 즉 방정식도 여러 개, 풀어내려는 변수도 여러 개인 경우를 연립 미분 방정식이라고 합니다. 이 경우에는 연립 '상'미분 방정식이네요.

물론! 편미방이면서 연립 미분 방정식인 놈들도 있습니다. 우리가 가장 좋아하는 연립 '편'미분 방정식입니다. 독립 변수도 여러개고 종속 변수도 여러개인 경우지요. 예를 들어서 유체 역학의 주력 방정식인 나비에-스톸스 방정식은 시간 t, 세 방향의 위치 x, y, z 를 독립 변수로 가지며, 세 방향의 속도 u, v, w 를 종속 변수로 가집니다.


[이렇게 생겼습니다. '나보고 이걸 풀라고?' 라고 걱정하실 필요 없습니다. 이 방정식은 너무 풀기가 어려워서 이미 수많은 사람들의 영혼을 탈곡시켰고, 아주 간단한 유동을 제외하고는 대부분 컴퓨터를 이용해서 풉니다. 하지만 관련 전공자라면, 이 방정식이 가지는 물리적 의미 정도는 알아두어야겠지요.]

6. 초기 조건 & 경계 조건

F=mx'' 라는 뉴턴 2법칙은 모든 야구공이 복종해야만 하는 법칙입니다. 하지만 처음에 야구공을 얼마나 빠르게 던졌느냐에 따라서 야구공의 궤적은 다 달라지지요. 양 끝을 단단히 고정한 기타 줄을 튕기면 좋은 소리가 나지만, 한쪽이 풀어진 기타 줄을 튕기면 아무 일도 벌어지지 않습니다. 기타 줄을 지배하는 방정식은 변하지 않았는데도 그렇지요.

이런 식으로, 정상적인 물리 법칙을 묘사해놓은 방정식들 중 대부분은 주어진 조건에 따라서 하나 이상의 해를 가집니다. 그리고 우리는 그중 우리가 관심 있는 상황에 맞는 해를 알고 싶은 거지요. 이를 위해서 필요한 것은 초기 조건 (Initial Value; 야구공을 처음에 얼마나 빠르게 던졌느냐) 이나 경계 조건 (Boundary Value; 기타 줄의 양 끝을 고정해 놓았느냐) 입니다. 방정식의 특성에 따라서 초기 조건을 알아야 하는 경우도 있고 경계 조건을 알아야 하는 경우도 있습니다. 어떤 놈들은 두 가지를 섞어서 알아야 할 때도 있고요. 이에 대한 자세한 이야기는 다음 기회에.

7. 이걸 계속 쓸 거라고?

그... 그렇다능. 전 이제 다른 주제는 잠시 접고 수학 얘기나 할 거라능. 수학 전공하신 분들께서 좋은 댓글 달아주시면 감사하다능.