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06/04/03 20:09
1차원에서 particle in a box의 가정부터 살펴보면 다음과 같습니다.
1) 질량은 m인 free particle이 x축을 따라 x=0 에서 x=a까지 존재한다고 가정함. 2) x=0 에서 x=a까지는 potential energy가 0이라고 가정하여 어디에서나 자유롭다고 가정함. 3) 이 입자의 wave function에 대한 general solution은 이전에 구한 걸 사용하는데 책을 참조하세요. 대충 cos함수와 sin함수를 linear combination한 모습입니다.(미방계산입니다.) 그리고 이 wave fuction을 Hamiltonian operator에 넣어서 에너지를 구할 수 있는데 가정 2)번에서 볼 수 있는 만큼 potential energy가 0이므로 운동에너지만 구할 수 있겠죠? 그 수식과 계산과정을 여기에 쓰기가 넘 힘들어서 여기엔 쓰지 않겠습니다. 궁금하시면 쪽지 보내세요. 설명해 드리겠음. 대충 이렇게 해서 particle in a box의 운동에너지를 구하면 아래의 식이 나옵니다. E=h^2n^2/8ma^2 (^2는 모두 제곱을 의미합니다.) (n은 자연수) 이 때 n이 고등학교 화학에서 배운 흔히 주양자수라고 부르는 거죠? 에너지가 자연수인 양자수에 의해 뚝뚝 불연속적으로 끊어져 있다는 사실을 도입하기 위해 particle in a box를 도입하고 설명하는 겁니다. 도움이 되었기를 바랍니다.^^ ////////////////////////////////////////////////////////////// 위에껀 네이버에서 퍼온겁니다. -.-글 쓰신 분도 저랑 같은 생각을 했네요.-.- 전공이 그쪽이 아니라 모르겠지만-.- 크사이(?) 아무튼 파동함수가 허수가 나올수 있죠. 저도 한동안 골똘히 고민했습니다..! 왜!!! 왜! 존재하지 않는 허수를 가지고 유도하고, 증명하고-.- 그래프 그리고 하는지-.- 참 납득이 안갔더레죠.. 제가 DSP를 배우고 있는데 스패트럼쪽 들어가면 허수가 판을치죠..허수지수함수도 나오니...그래서! 그래서 ! 미칠듯이 궁금해서 교수님꼐 어쩌봤더레죠... 왜왜! 허수는 존재하지 않는 수인데 그걸로 함수를 만들고 지 멎대로 하냐! 그랬더니 교수님왈 나중에 가다보면 사인 ,코사인보다 나타내기 더 편하다고 하더군요. Euler's theorem by power series expansion을 보시면 왜! 간단해지는지 잘 알수 있답니다. DSP에서 스팩트럼단원은 소리(파동)과 관련돼었기 때문에 비슷한 답변이 될듯 싶네요.
06/04/03 20:17
결국 1번 양자역학문제는 포텐샬을 영으로 가정한거였군요;;; 이유는 영으로 가정해도 될만큼 미세한 량을 가졌겠지요? 좀더 생각해봐야겠습니다.
06/04/03 21:14
1. box는 물리적인 box가 아니라 경계에서 포텐샬이 무한대라 입자가 통과/투과/진입 할 수 없다는 뜻입니다.
2. 포텐샬이 0인 이유는 자유입자라고 가정했기 때문입니다. box 안에서 포텐샬이 0이 아니라 유한한 상수 V_0라고 가정해도 상관 없습니다. 다만 K.E=1/2 m v^2 = E - V_0 가 되서 V_0=0 이라고 가정했을때의 E 를 E-V_0로 바꿔버리면 됩니다. 3. 파동함수의 경우 모멘텀과 phase(위상)도 고려해야 합니다. 이경우는 복소수로 처리하는게 계산이 훨씬 쉽습니다.
06/04/03 21:18
허공에삽질 님// 정확하게 말하면 포텐샬이 너무 작아서 영으로 가정한게 아니라, '일단' 포텐샬이 0인 환경에서의 솔루션을 구해보는 것 '뿐'입니다. 처음부터 슈뢰딩거 방정식으로 어려운 문제의 솔루션을 구하려면 난감하니까, 쉬운 것 부터 하자라는 거죠 말하자면.... ㅎ 말하자면 단지 연습 문제에요..
퍼텐셜은 없는 '이상적인' 환경에서 입자의 probability density 가 어떻게 분포할까 를 계산해 본겁니다. 마치 물리 맨~ 처음 배울 때 마찰력 0의 이상적인 상황을 놓고 연습하는 것처럼 말이죠...
06/04/03 21:30
허수를 쓰는 이유는 계산을 편하게 하기 위해서죠.
예를들어 cos x + cos^2 x + cos^3 x ... + cos^n x + ... 이런 애들을 코사인으로 직접 구하려면 어렵지만 e^ix + e^2ix + e^3ix ... 이런 식으로 되면 급수라서 구하기가 쉽죠.
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