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12/04/22 00:53
다만 이차함수는 중3때 배워서 응용이야할수 있다지만
본문제는 정확히 따지고들자면 2차부등식의 절대부등식의 파트라고 보이고 이차부등식은 고1 이후과정이므로 고1중간고사로는 부적절한문제네요. 정답은 3번같네요
12/04/22 00:53
1. 모든 실수 x에 대하여 0보다 크기 위해서 D<0이므로 -2<a<2
2. 어떤 실수 x에 대하여 x^2 - ax + a <= 0이 거짓이기위해서는 모든 x에 대하여 x^2 - ax + a >0이면 되므로 D<0이므로 0<a<4 그래서 아마도 답은 0<a<2이지 않을까요?
12/04/22 01:05
x^2 + ax + 1 > 0 => ( x + 1 )^2 > ( 2 - a )x 로 바꿔서 그래프 그려보면 a < 2
어떤 실수 x 에 대하여 x^2 - ax + a <= 0' 은 거짓 => x^2 - ax + a > 0 이 참 x^2 - ax + a > 0 => x^2 +a > ax a가 음수라면 거짓 a=0이라면 x=0에서 거짓 그러므로 a>0 둘을 종합하면 0 < a < 2
12/04/22 01:42
판별식 이용문제네요. 이건 집합과 명제 파트라기보다는 2차부등식 배울때 출제하는 문제에 가까운데요.. 고1 중간고사 시험범위가 부등식까지 나가지 않는데 좀 의아하네요. 어쨌거나 풀이를 해보자면..
1번 명제에서 모든 실수 x에 대하여 0보다 크려면 판별식 D<0이어야 하므로 a^2-4<0, 즉 -2<a<2 2번 명제가 거짓이므로 x^2+ax+a>0이 참이고, 마찬가지로 판별식 D<0이어야 하므로 a^2-4a<0, 즉 0<a<4 1,2번 명제의 공통 범위이므로 0<a<2가 답이겠네요.
12/04/22 02:29
이 문제에서 알아야 할 내용의 핵심은 '이차부등식을 이차함수의 그래프를 통해서 이해할 수 있느냐'입니다.
이차부등식을 이차함수의 그래프를 통해서 이해하려면 이차함수의 그래프와 x축과의 위치관계를 이해해야 합니다. 판별식을 이용하면 근이 실근인지 허근인지를 알 수 있고 이를 이용하면 함수의 그래프가 x축에 접하는지 또는 위에 있는지를 알 수 있습니다. 문제 조건에서 x^2 - ax + a 이러한 이차식이 모든 실수에 대해서 항상 0보다 크다는 것은 함수의 관점에서 보자면 함숫값이 정의역의 모든 원소 실수 x에 대하여 오직 양수값만을 갖는다는 것이기 때문에 이차함수의 그래프가 항상 x축보다 위에 있어야 합니다. 이것을 방정식의 관점에서 보자면 방정식의 해가 허근을 갖는다는 말과 같습니다. 그래서 판별식 D<0을 이용하게 됩니다. 이차방정식이 허근을 갖는다는 것은 이차함수의 그래프가 x축과 접해서는 안된다는 것이니까요. 항상 위에 있을 수 밖에 없습니다. 이 내용은 보통 2학기 쯤 가야 배울겁니다. 대수적인 차원에서 부등식을 이해하는 것에서 벗어나 함수의 그래프를 통해 부등식을 직관적으로 이해하는 것이 목적인데... 어쨌든... 출제하신 선생님께서 실수하신 것인지 아니면 다른 의도로 출제한 것인지는 잘 모르겠지만 이것을 중간고사 범위에 맞게 출제한다면 x의 계수를 미지수로 주기보다는 상수항만 미지수로 두고 실수의 성질을 이용해서 a값을 찾아라 하는 문제가 더 적합하지 않겠나 싶습니다.
12/04/22 15:01
그래프가 x축 위에 있어야 하니까 최솟값이 0보다 크다 이런 방향으로 설명하심 어떨까요? 좌변을 완전제곱식형태로 고쳐서... 학교 쌤께선 가르친것만 내시지ㅠㅠ [m]
12/04/22 15:16
최솟값이 0보다 크다 부분이 이차부등식인데.. 중3에서 가끔 이런문제가 있긴 하드라구요..대체 왜??? ㅡㅡ 시험기간 고생 많으십니다 유리별님!! [m]
12/04/22 23:59
1. 두번째 명제는 모든 x에 대하여 X^2-ax+a>0 이 참이란 것으로 바꿀 수 있죠.
2. 정리하면 1) x^2+ax+1>0 2) x^2-ax+a>0 3. 1)과 2)를 완전제곱꼴로 정리하면 1) (x^2+ax+a^2/4)+1-a^2/4 >0 (쓰기어렵네요) 2) (x^2-ax+a^2/4)+a-a^2/4>0 4. 1) 1-a^2/4 >0 2) a-a^2/4>0 5. 1) a(4-a)<0 2) (a+2)(a-2)<0 6. 1) 0<a<4 2) -2<a<2 7. 1과 2의 교집합인 0<a<2가 답입니다. ※ 제 생각에는 판별식으로 접근하기 보다 완전제곱꼴은 무조건 0보다 크니까, 완전제곱을 뺀 나머지가 0보다 크다는 식으로 접근해서 이차함수가 나오면 그래프를 그려주고 풀어야 할 것 같습니다만... 과외한지 오래되서 제가 한 풀이가 고1중간고사 수준에서는 풀 수 없는 것인지는 잘 모르겠습니다.
12/04/23 00:03
오타네요... a(a-4)<0이 맞네요... 그래프 그려놓고 색칠해서 0보다 작은부분 찾는 걸로 가르치면 2차부등식 개념없이도 풀 수 있을 것 같습니다.
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