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12/04/30 23:09
헉... 이거 저희 교수님께서 한번 생각해보라고 하셨던 문제인데;; 결국 저도 답을 못들었는데;;ㅠ ㅠ
풀어주실분;;;;; (참고로 제가 알기로는 완비성공리와 데데킨드의 컷, 단조수렴정리, 코시수열의 수렴성등이 다 동치로 알고 있어요^^;)
12/04/30 23:31
한 출판사 책만 보지말고, 다른 출판사 해석학책도 다 뒤져보세요. 다른 출판사 책에선 나오는 경우 종종 있습니다.
질문자님이 보는 출판사것이 A->B만 적어놓고, B->A는 '수학도라면 고민 좀 해봐'식으로 안 적어놓듯이 (니들 공부해라식) 마찬가지로 어떤 다른 출판사도 '니들 골똘히 생각 좀 해봐라. 그래야 수학도지.' 라며 B->A만 적어놓고, A->B는 안 적어놓기도 합니다.
12/04/30 23:55
let A be a nonempty bounded subset of R.
let x0 in A there exists x1 > x0 in A. ( if not, x0 is supA. done. ) ... there exists x(i+1) > x(i) in A. (if not, x(i) is supA. done. ) xn is monotonic increasing seq & bounded. by (b), xn converges. let xn -> x 이다음에 x가 sup(A)라는 걸 보이면 될 것 같네요.
12/05/01 00:29
∀ε>0, ∃K s.t n ≥ K -> |x_n - x| < ε
|x_n - x| < ε ⇔ x - ε < x_n (x_n - x ≤ 0 이므로) x_n - x ≤ 0 이므로 x_n ≤ x ∴ ∀ε>0 ∃ n ∈ N, x - ε < x_n ≤ x x = sup(A)
12/05/01 00:32
배운지 좀 오래돼서 틀렸을 수도 있지만 ㅠㅠ
x_n - x ≤ 0 는 increasing sequence 를 근거로 했어요. 어떤 n 에 대하여 x_n > x 이면 increasing sequence는 x 로 수렴하지 않음을 충분히 보일 수 있을거 같네요.
12/05/01 01:21
헉,, 답변 모두들 정말 감사합니다. 자고 일어나서 남겨주신 답안들 몇번씩 곱씹어보면서 공부하겠습니다.
정말 감사드립니다.
12/05/01 07:10
다시 한번 생각을 해보니 죄송하지만 깨비님의 답변에 다른 생각이 있어서 다시 올려요ㅠ
깨비님 ㅠ 만약에 A가 [0,1]에 대해서 1/2로 수렴하는 증가수열을 잡아버리는 경우도 있으니까 그러면 안될것 같아요ㅠ.ㅠ 그리고 한걸음님 ㅠ 질문자의 의도는 일단 임의의 위로 유계집합 A를 잡아서 유계수열을 잘 잡은 뒤에 증명을 해야 해요 ㅠ.ㅠ 문제는 말씀하신 저런 수열의 존재성을 보여야 할 것 같습니다 ㅠ Eluphant Bakery님.. 저도 정확한 답변은 생각 못했는데... 일단 A가 위로 유계라면 적당한 실수 M이 존재해서 A의 모든 원소보다 크구요 A에서 임의의 원소 a를 잡은후에 (M+a)/2를 하시고 (M+a)/2가 A에 포함되면 이 원소를 a1 이런식으로 계속 1/2로 줄이면서 A에 속하는 원소들만 an으로 증가하는 수열을 잡으시면 이 수열에 대해서 수렴값K에 대해서 이 K가 A의 sup임을 보이면 될것 같네요...;; 다른 태클 환영합니당;;
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