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Date 2004/11/18 19:59:20
Name 닭큐멘타리
Subject 피보나치 수열.....
피보나치 수열 다들 아실 겁니다.
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ......................
이런 식으로 해서 앞의 두 숫자를 더한 것으로 새로운 항을 만드는 수열이지요.
그런데 특이한 점이 있더랍니다.
(강의 시간 때 강의는 안 듣고 이것만 계산 하고 있었습니다.)
아무렇게나 연속한 4개의 숫자를 고릅니다.
ex> 21 34 55 89
가운데의 2개의 숫자를 곱해보고 바깥쪽의 2개를 따로 곱해봅니다.
ex> 34*55     21*89
      1870        1869
그러면 그 두 수의 차는 항상 1이 됩니다.
가운데의 곱이 클 때도 있고 바깥쪽 수의 곱이 클 때도 있습니다.
(아... 그리고 그게 항상 규칙적으로 반복되요.)
고 2때 수학 선생님이 피보나치 수열의 일반항 구하는 법을 가르쳐 주셨던 것 같은데
생각이 잘 안 나네요.
수학 잘 하시는 분들 있으시면 왜 그런지 좀 가르쳐 주세요..
(질문 게시판에 올려야 하는데 자게가 사람들의 왕래가 훨 많을 것 같아서 올렸습니다.)
* 관리자님에 의해서 게시물 이동되었습니다 (2004-11-19 04:38)

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영웅의물량
04/11/18 20:08
수정 아이콘
헛; 이런 복잡한-_-+
그래도 재밌는걸요~?

↓이분께서 명쾌한 답변을 달아주시겠죠^^?
04/11/18 20:17
수정 아이콘
피보나치 수열의 일반항... 점화식으로 하는 건데... 기억이 안 나네요; 약 2년전에 공부 했었는데;;
지금 다시 해봐야죠OTL
↓이분께서 명쾌한 답변을 달아주시겠죠^^?
04/11/18 20:20
수정 아이콘
a,b,c,d,e,f,...이면,
c=a+b
d=b+c=b+a+b=2b+a
e=c+d=a+b+2b+a=2a+3b
그러면 b,c,d,e에서,
be=b(2a+3b)=2ab+3b^2 ---(1)
cd=(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2 ---(2)
(2)-(1):
cd-be=a^2+ab-b^2=(a+b)^2-ab-2b^2=(a+b)^2-b(a+2b)
=c^2-b(b+c) [a+b=c니깐요.] =c^2-b^2-bc=(c-b)(c+b)-bc
=ad-bc [c-b=a, c+b=d죠.]

보세요. 그러면 cd-be=ad-bc가 됐죠? 마찬가지로 반복하면
cd(안두개의곱)-be(바깥것의곱)=ad(바깥것의곱)-bc(안두개의곱)=....=1*1-2*0=1이되는겁니다. 아셨죠? ^^
Full Ahead~!
04/11/18 20:31
수정 아이콘
피보나치 하면 황금비율 어쩌구..그래서
a_n = 1/√5
(1+√5 /2)^n - {(1-√5 /2)^n
이거 아니었나요?
오래되서 가물하지만..
04/11/18 20:33
수정 아이콘
딴건 하나도 모르겠고.. 다빈치 코드만 생각나네요.. ^^
04/11/18 20:36
수정 아이콘
푸는 방법은, a_n+2 - a_n+1 - a_n = 0 에서 일반 점화식 푸는형태와 같이
a_n+2 - p*a_n+1 = q(a_n+1 - p*a_n)
a_n+2 - q*a_n+1 = p(a_n+1 - q*a_n)
으로 바꿔서 보면
계수비교하면 p+q=1이고 pq=1이니까 결국 p와 q는 x^2-x-1=0의 근입니다.
그 다음 위 점화식을 푸는것은 어렵지 않으니 둘다 풀어서 빼니까
결국 (q-p)a_n = p^n - q^n 뭐 이런 식이 되더군요(점화식 푸는 과정은 귀찮아서; 아실걸로 생각하고 생략)
거기서 q,p를 대입하면 a_n이 나오죠.
그게 일반항이죠. (사실 귀찮아서 대입 안 했답니다a) 이렇게 푸는 거 맞겠죠? 공책을 뒤져보면 나올텐데... 아무튼 이렇게 푸는 것 같네요.
04/11/18 20:38
수정 아이콘
엘리어트파동이론과 피보니치수열.
내 머리 속의
04/11/18 23:16
수정 아이콘
어려워요 ㅜ,.ㅡ
Jonathan
04/11/18 23:57
수정 아이콘
수학적 귀납법으로 증명합니다.
텍스트 한계상 피보나치 수열을 F1, F2, ... , Fk 이렇게 표기하겠습니다.

먼저 알아두어야 할 점.
Fn+2 = Fn + Fn+1
(즉, 위에서 글쓰신분이 말했듯이 앞의 두수의 합으로 만들어지는 수열을 피보나치 수열이라고 합니다.)

공식) (Fn+2) * (Fn-1) - (Fn) * (Fn+1) = (-1)^k ... (n>=2)

증명)
n = 2 일 때, F4 * F1 = F2 * F3 = (-1)^2 (성립합니다.)
n = k 일 때 성립한다고 가정하면
n = k + 1 일 때,
(Fk+3) * (Fk) = (Fk+1) * (Fk+2) = [(Fk+2) + (Fk+1)] (Fk) - (Fk+1) * (Fk+2)
= (Fk+2) * (Fk) - (Fk+1) * [(Fk+2) - (Fk)] = (Fk+2) * (Fk) - (Fk+1)^2 = (-1)^k (성립합니다.)
그러므로 수학적 귀납법에 의해, 모든 자연수 n에 대해서 이 등식은 성립합니다.

피보나치 수열의 공식들은 수학적 귀납법을 통해 간단하게 증명될 수 있습니다.

헉헉, 힘드네요..
이디어트
04/11/19 00:03
수정 아이콘
솔직히 위에다가 푼거 전부다 뻥처럼 보인다고 생각되시는분 "손"
-_-;; 진짜 저게 맞단 말입니까... 허헛-_-;; 난 12년동안 뭘 한거지...
Marionette
04/11/19 00:52
수정 아이콘
피보나치수열의 일반화.. 딱 한번 구해본 기억이..(문과반이였으니..)
얼마전 읽은 다빈치코드에서 보면 피보나치수열관한 특징이 하나 나오긴하죠.
피보나치 수열의 연속된 두항을 나눠보면 (물론 큰수/작은수) 그 값은 거의 PHI(≒.1.618)값이 나오죠..
보다 자세한건 ↓분께 설명을..
안티테란
04/11/19 11:19
수정 아이콘
요새 고등학교에서는 피보나치 수열은 어렵다고 안가르칩니다... 이분들 대단하시네요 -_-;
04/11/19 15:51
수정 아이콘
이거 왜 만들었답니까? 헐....사칙연산도 힘든데....
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