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12/07/08 13:22
가장 쉬운(?) 예제로 다음과 같은 함수를 생각해 봅시다.
f(x) = 0 if x가 유리수, 1 if x 가 무리수 인 경우 x->0으로 접근하면 상식적으로 극한이 없겠죠. 임의의 eps > 0 를 잡더라도, (극한이 존재한다면) 어떤 delta > 0를 잡아서 |x-0|<delta => |f(x)-f(0)|=|f(x)|<eps 여야 하는데, 실제로 eps = 1 인 경우를 생각해 보면 아무리 delta>0를 열심히 잡아도 (-delta, delta) 사이에는 무리수가 반드시 존재합니다. (why?) 따라서 그 무리수에 의한 함수값이 1이 되므로, |f(x)| < eps 가 모순이지요. 따라서 극한은 존재하지 않습니다.
12/07/08 13:28
함수 f가 점 a에서 연속이라 함은 (1) a가 f의 정의역에 존재하여 함수값 f(a)가 존재, (2) 극한 lim(x->a) f(x)가 존재, (3) 그 극한값과 함수값이 일치 이므로... 비슷하게 증명한다기보단 eps-delta로 극한의 존재여부를 증명하면 자연스럽게 얻어지는 성질이지요. 증명할땐 결국 입실론델타를 쓰겠지요.
x=a에서의 미분가능성의 정의 역시, f(x)-f(a) /(x-a) 의 극한이 존재하는지이므로 이 식에 대한 입실론 델타 증명법을 적용하여 미분가능 여부를 증명하게 되겠습니다.
12/07/08 14:32
예전에는 수학자들도 '연속'이라는 개념에 대해서도 '그냥 쭉 이어진거' 이정도로만 생각했습니다.
그런데 컴퓨터의 발달등으로 인해서 대충 이미지로만 생각하기 어려운 개념들이 나오면서 (모든점에서 연속이지만 모든점에서 미분은 불가능한 함수등등) 연속이나 미분 등에 대한 개념들에 대해서 더 명확한 정의를 요구하게 된거죠. 1. 이런 예야 엄청 많을것 같은데 1,0,1,0... 이것만봐도 엡실론을 1/1000으로 잡으면 안되니까 극한이 존재하지 않겠죠.. 2. 말씀하신대로 가까이 접근해 간다, 무한히 커진다, 이런개념에 대해서 수학적으로 더 엄밀하게 이야기를 하고 싶어서 엡실론-델타논법을 쓰는것이 맞습니다.마찬가지로 연속, 미분가능성, 극한도 이런식으로 증명하는게 맞구요. 문제는 엡실론이라는게 '임의의 양수'를 잡더라도 항상 델타를 잡아줄수 있느냐의 이야기가 가장 중요합니다. 3. 말씀하신 교환법칙, 분배법칙, 항등원, 역원이 당연하다고 하셨는데 그럼 왜 당연한지 한번 설명해달라고 하면 아마 힘드실겁니다.... 절대로! 당연한게 아닙니다...예를 들어 (-1)*(-1)=1이 되는것도 당연하지 않습니다.. 그냥 중학교때 이렇다라고 외웠을뿐이죠.. 이제 대학수학에서 왜 저렇게 되는지를 몇가지 실수체계에 대한 '공리'만 가지고 증명하시는 겁니다. .. 참고로 처음이시면 정동명저서의 해석학책도 좋구요.. 조금 실력이 되시면 바틀해석학을 추천합니다^^
12/07/08 14:45
"무한히 가까이 간다"라는 표현이, 엄밀하게 따져보면 굉장히 애매한 표현입니다. '무한히'라는 어휘 자체가 무한 조작을 의미하는데, 이 경우 논의 자체가 멈추게 될 수 있습니다. 누구도 '무한히' 조작을 '다 해보고' "아 그거 무한히 해봤더니 결과가 이렇더라고요"라고 말할 수가 없으니까요. 이해가 가시죠? 시간을 뛰어넘는다는 소리니까요. 즉 '무한히 뭘 했다'라고 말하는 시점에서 영원토록 그걸 해보지 않으면 안 됩니다. 영원토록 "해 볼" 수도 없죠.그런데 이미 우리는 현재를 살고 있으니, 미래의 어떤 시점을 가져다 놓아도 '너 지금 무한히 한 거 아니네?'라고 태클이 걸릴 수 있죠. 아킬레스와 거북이 역설도 아마 여기에서 비롯된 걸 겁니다.
그런데 여기서 입실론-델타 논법은 '어떤' '모든'이라는 수식어로 단숨에 무한 조작을 뛰어넘습니다. 이거랑 코시 시퀀스 정의를 같이 음미해보시는 것도 좋을 듯... <a href=http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence target=_blank>http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence </a> 아 그리고 혹시 덧글에 틀린 부분이 있다면 너그러이 봐주세요... 졸업한 지 좀 되어서...^,^;;
12/07/08 14:52
디씨수학갤이랑 네이버 지식인에서 활동하시는 sos440? 404?님의 블로그의 설명이 저에겐 직관적으로 가장 와닿더군요. 지금은 밖이라 즐찾 주소를 모르지만 집에 들어가면 주소 알려드릴게요.
책은 전 정동명 실해석학 개론 책이랑 루딘의 Principles of Mathematical Analysis라는 책을 봤어요. 루딘 책 어렵기도 소문난 책이지만 내용은 되게 좋아서 내용은 이걸로 나가고 이해 안되는 내용은 다른 책 참고했었습니다. Understanding Analysis라는 책은 2001년도에 나온 책인데 이 책도 쉽게 쓰여져있어서 좋은 책이구요. pdf파일로도 있구요. [m]
12/07/08 15:00
앞의 실수체계는 당연한 것으로 보이지만 실상은 그게 아닙니다. 거의 처음으로 몇가지의 공리만 가지고 이론을 구성하는 것을 배우는 겁니다. 수학의 기본틀이라고도 볼 수 있죠. 앞으로도 이런 식의 이론 전개를 많이 보실 수 있을 것입니다.
실수의 본질에 대한 탐구가 있었기 때문에 극한, 미적분이 나온 것이기도 하구요. 루딘책 1단원 끝에 있는 Appendix를 보시면 데데킨트 컷으로 유리수로부터 직접 실수를 구성하는 것이 나올텐데요, 이해하기는 어렵지만 실수를 구성한다는 것이 무엇인지 감으로 느끼실 수는 있을 겁니다. [m]
12/07/08 15:07
마인드헌터 님// 아르키메데스가 원의 넓이를 극한을 통해 구하기는 했지만, 지금과 같은 순간변화율 등의 미적분학으로서의 극한은 뉴턴, 라이프니츠가 만든 것 맞아요.
물론 수학사적으로 보자면 뉴턴 라이프니츠 직전에 조금 서툰 형태의 극한이 있긴 했었습니다. 미적분학 갤러리라는 책에 이러한 극한 개념의 발전의 역사가 나옵니다. 하지만 지금 추천드릴 책은 아니구요, 지금 님이 하셔야 할 것은 실수체계가 무엇인지 교과서를 통해 이해하는 것입니다. 아까 말씀드린 루딘책 1단원을 정독해보시는 것을 추천드려요. 아, navercast.naver.com에 실수개념 발전에 대한 좋은 글이 있는데 역시 밖이라.... 자세한 링크는 다음에^^;;
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