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11/03/04 13:17
짧은 지식이나마 답변을 드리면 x=[a,b]에 대해서 x=a에 대한 미분값으로는 우미분계수로 정의하는걸로 알고 있습니다~~ 그럼 모든 점에서 미분가능하다고 정의할수 있으니까 x=[a,b]에 대해 미분가능하다 고 말할수 있을것 같네요~
11/03/04 13:34
직관적으로 느껴지기엔 x=(a,b)라고 하면 아무 문제 없어 보이는데, x=[a,b]의 경우 x=a일때와 x=b일때 문제가 생길 수 있을거 같네요.
간단히 말해서 x=[a,b]의 경우 x=a일때 함수 f는 정의 되어 있지만, 미분시는 x=a보다 미세하게 큰 값 e에 대해 x=a+e값을 필요로 하는데 이값은 위 정의대로라면 알 수가 없는거니까요. 그래서 f'(a)나 f'(b)는 구하지 못한다는게 맞다고 생각되네요. 간단히 설명하면 미분계수라는게 한점의 양쪽에서 다가와 하나로 만나는 거라고 할 수 있는데, 끝점에 대해서는 한쪽에서밖에 오질 못하니 문제가 생기는 거겠죠. 예전 기억을 떠올려보니까 미분가능이라는게 다음 3가지 조건을 만족해야 하는데 1) 함수값이 존재 2) 좌우 미분계수가 존재 3) 좌우 미분계수가 일치 끝점의 경우 2), 3)번 조건을 만족할 수가 없으니 미분가능이라고 할 수가 없어요. 그걸 미분가능하게 만들라면 좌우 미분계수가 존재할 수 있도록 따로 조건이 붙어야 할 거 같네요. 이런 의미에서 개집합이어야 한다고 한거 같네요.
11/03/04 13:50
계속 보다 보니 기억이 많이 나네요. 쓰신 미분의 정의는 엡실론-델타를 이용한 정의인대, 이게 이해하는게 그리 만만하지 않져.
너무 그 정의에 매달리지 말고 직관적으로 생각해도 될 겁니다. 교수님이 접선이 하나가 되지 않는다는 얘기는 아마 다음같은 경우를 두고 하신 말씀일겁니다. f(x)=(x<2) x (x>=2) 2x 로 정의 된다고 할때, f(x)는 x=2에서 좌미분계수는 1이고, 우미분계수는 2로 2개의 접선을 가진다고 할 수 있져. 이럴경우 f(x)는 x=2에서 미분불가능입니다. 이런걸 생각하면 개집합으로 하는게 논리적으로 정확한거 같네요.
11/03/04 14:00
해석학을 배운지 하도 오래되서 잘 기억은 안납니다만 띄엄띄엄 기억나는 걸로 답변 드리면 ( 따라서 틀릴 수도 있습니다. 그냥 참고만..)
[a,b] 일 경우는 양 끝점에서 따로 정의를 해야 합니다. 정의 1의 경우 엡실론-델타를 이용한 정의인데 이걸 바로 이해하기는 쉽지 않습니다. cluster point( 한국말로 뭐라고 하는지 모르겠네요), 극한의 정의, 연속성의 정의를 이해한 이후에 미분의 정의를 보시게 되면 도움이 될겁니다. 아마 경제학을 하시나 본데 너무 세세하게는 따지지 않으셔도 될거에요. ps. 써놓고 보니 윗분이 더 답변을 잘 달아 주셨네요..크.. 그리고 님이 작성한 정의를 보니 cluster point 는 집적점 이라고 하는군요.( 정의 1에서 c )
11/03/04 14:23
답변해주신 모든 분께 감사드립니다.
교수님께서 설명해주신 부분은 당시 x=[a,b]의 형태에서 x=a 점에서 접선이 무한히 되기 때문이라는 설명이었습니다. 해석학 책 중에 어떤 책에서는 점a에서도 엡실론-델타 정의 자체를 적용시키면 되므로 문제가 없다는 식으로 설명되어 있었습니다. 그러니까 정의 1에서 0<|x-c|<d & x∈X 이라고 서술되어므로, c=a인 경우에는 우미분계수와 동일하게 된다는 식으로 되어 있었습니다. 어떻게 이해해야 하는 것일까요? X 가 open set으로 조건을 주지 않고 바로 정의한 책들은 좌미분계수 우미분계수를 한꺼번에 고려해서 정의한 것으로 이해하면 되는 것인가요?
11/03/04 18:48
epsilon-delta 가 가장 fundamental한 정의이구요,
1차원의 경우 그나마 좌미분 우미분 그런 정의가 그다지 이상하지 않게 보이지만 2차원 이상의 multi dimension일 경우 꽤 괴상하게 됩니다. (이럴 경우 보통 boundary를 빼버리고 open set으로 다시 만들거나 singular point라고 따로 분류하거나 하지만요.) 또한 Real^n space with Euclidean metric이 아닌 다른 space에서 미분을 정의하는 데 있어서도 이상합니다. 실수 1차원만이 아닌 미분 자체의 정의는 open set을 가정하고 하는 것이 그러므로 가장 '자연스런' 정의라고 하겠습니다.
11/03/04 19:03
으흠~ 간단하게만 설명하려고 했는데 이거 말이 길어지겠군요;;
한마디로 함수 f가 정의역에서 (a,b)이든 [a,b]이든 미분가능하다는 말은 정의역에 있는 임의의 점c을 잡더라도 for all e>0 , there exists d>0 s.t. 0<|x-c|<d & x∈X -> | [f(x)-f(c)]/(x - c)] - L )|<e 가 성립하게끔 하는 L이 있으면 c에서 미분가능하다고 이야기를 합니다~(여기서 s.t.는 such that라는 말로 '그러한' 이라는 의미입니다~) 여기서 엡실론-델타를 쓰는데요~ 수학 전공자가 아니신것 같으니까 엡실론-델타에 대해 간략하게 설명을 한번 해보겠습니다~ 지금 위에 모든 양수e라고 적혀있죠? 즉 아무런 양수를 잡더라고 위에 식이 성립하게끔 해주는 d가 존재한다는 말입니다~ 지금저랑 기적의미학님과 가위 바위 보를 한다고 가정합시다~ 근데 이상하게도 제가 항상 먼저 가위 바위 보를 내는데, 여기서 가위와 바위와 보중 어는것을 낼지는 임의로 제가 냅니다~ 예를 들어 제가 가위를 냈다고 생각해봅시다~(임의의 양수 e에 해당합니다) 그럼 기적의미학님은 당연히 이길수 있도록 바위를 냅니다. 이길수 있다는 말은 저 식이 성립한다는 말이구요 바위를 낸다는 말은 그러한 d를 보여주였다는 말입니다. 임의의 가위 바위 보를 내더라도,------------------------임의의 양수를 잡더라도, 게임에서 이길수 있게끔, --------------------------저 식이 성립하게끔 해주는 해주는 가위 바위 보중에 어떤게 있다는 말--------- 그런 양수 d가 있다는 말 입니다... 수학 전공자가 아니시라서..... 이정도 밖에 설명이 안되겠는데... 엡실론-델타는 대학교 1학년 미적책에도 나오니까 참고하셔도 좋을것 같네요 그럼 다시 미분 이야기를 해보겠습니다.. 이제 특별히 a,b에 대해서만 이야기를 하면 끝인거죠? 미분가능하다는 정의에 의해서 임의의 e에 대해 0<|x-a|<d & x∈X -> | [f(x)-f(a)]/(x - c)] - L )|<e 가 성립하게해주는 d가 있으면 됩니다. 그런데 정의역이 [a,b]이므로 '0<|x-a|<d & x∈X '이부분에서 식을 고치면 d-a <x< d+a가 되는데 정의역의 원소이므로 결국 a<=x<d+a가 됩니다 a의 오른쪽에 있는 x의 원소들에 대해서 | [f(x)-f(a)]/(x - c)] - L )|<e이 식이 성립하게끔해주는 d가 있으면 되니까 이는 우미분계수를 말하고 다시 정의에 의해 우미분 계수가 존재하면 (저 극한값 L을 우미분계수라고 합니다) a에서 미분가능하다고 이야기 합니다... 도움이 되셨는지 모르겠네요.....;;;
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