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13/12/04 02:47
단순하죠.
포물선 식을 타원으로 대입하는 과정에서 생기는 겁니다. 사실 타원 안에 -4<= x <= 4 라는 범위가 들어있는 상황인데, 포물선 식을 타원에 대입하여 이끌어낸 2차방정식의 x의 범위가 실수 전체라고 생각하니까 그런 상황이 발생하는 겁니다. 따라서 무연근은 사실 애초에 아무런 의미가 없는 것이죠. 순전히 제 개인적으로는 왜 [무연근]이라는 이름을 붙인 것인지 의문일 따름입니다. 애초에 이름 붙일 필요가 없다고 생각하거든요.
13/12/04 02:52
답변 감사합니다.
근데 제가 내공이 부족해서인지 그리 와닿지가 않네요. 위의 경우는 제가 예를 든거고, 일반적으로 연립방정식에서 무연근이 발생하는 이유를 알수 없을까요?
13/12/04 02:54
굉장히 여러 상황에서 발생할 수 있습니다.
위와 같은 2차곡선의 연립에서는 x 혹은 y의 범위의 제한 때문에 나오는 경우가 대부분이고, 연립 분수방정식의 경우는 통분(?)하는 과정에서 공통분모의 식을 곱함으로 인해 그 공통분모의 식의 근이 무연근으로 발생합니다.
13/12/04 02:48
고딩때 배운 지식으로는 y^2이 음수가 될수는 없기때문에 x가 -12가 될수 없다. 로 설명할수 있을거같은데 뭔가 고차원적인 이유가 있는지는 저도 궁금하네요 크크 고딩땐 이과였는데 전공은 수학과 전혀 상관없는전공을 공부하고 있어서 크크
13/12/04 02:54
네. 그러니까 기본적인 메커니즘을 질문한것이라서요.
고딩때 보면 분수방정식이나 무리방정식의 경우 왜 무연근이 발생하는지 메커니즘을 배우고, 또 그 무연근이 무슨의미인지 나와있듯이 말이에요.
13/12/04 02:49
포물선 y^2 = 8x 에서 x는 음수가 될수 없죠. 사실상 y=(8x)^0.5 가 제대로 된 표현입니다. 혹은 (x>=0 이라는 조건을 붙이던가)
1번식과 2번식을 연립하기 위해서 2번식을 양변 제곱해서 1번식에 대입하여 푼 모양새가 되는데 말하자면 f(x) = g(x) 를 풀기 위해 f(x)^2 = g(x)^2 이라는 방법을 사용한 것과 같지요. 이를 풀면 f(x) = g(x) or - g(x) 가 되는데 여기서 실제 방정식의 해는 f(x) = g(x) 뿐입니다. f(x) = -g(x) 인 경우가 무연근이지요.
13/12/04 02:51
y^2 = 8x 과 y=(8x)^0.5는 전혀 다른 표현입니다.
한쪽은 y가 음수인 상황도 고려하고 있고, 다른 쪽은 그렇지 않습니다.
13/12/04 02:57
x>=0 인 제약조건과 무연근이 생기는 원리를 설명하려다 보니 표현상 그렇게 됐네요.
굳이 따지자면 y= (8x)^0.5 or y= - (8x)^0.5 로 보면 되겠네요. 결국 무연근이 생기는 원리는 f(x) = -g(x) 인 경우라는 점은 변함없죠.
13/12/04 02:51
실수범위에서 포물선의 경우 y^2이 무조건 0보다 큰 수이어야 하는데 x=-12면 이에 어긋나기 때문에 답이 될 수 없습니다.
비슷한 예로 0으로는 나눌수 없기 때문에 방정식의 분모를 0을 만드는 근은 역시 안되고요. 문제를 풀 때보면 (단, x,y>=0) 이라는 조건이 제시되는 경우가 많은데 문제 자체에서 이런식으로 숨겨진 제약조건이 있습니다. 그래서 연립방정식에서 얻은 근을 무조건 답으로 쓰는 것이 아니라 보통 대입을 한번 해보죠. 검산겸해서요.
13/12/04 02:53
분수방정식에서는...음...
분수 방정식을 풀때 f(x)=g(x)라고 했을때 보통 습관적으로 우리가 쉽게 풀기 위해서 양변에 분모의 최소공배수를 곱해버리고 시작하죠. 이때 최소공배수를 L이라 해봅시다. Lf(x)=Lg(x) 가 되는거죠. 이때 L{f(x)-g(x)}=0 이라 했을대 이 식을 만족시키는 해는 f(x)=g(x) 이거나 L=0인경우죠. 이때 L=0 인경우가 무연근인겁니다.결국 편의를 위해서 만드는게 무연근인거죠. 사실 잘 따져보면 f(x)=g(x) 이면 Lf(x)=Lg(x)자체는 성립합니다. 하지만 그 역은 성립하지 않죠. 즉, 우리가 귀찮아서 그냥 될꺼야 되는거야! 가정짓고나서 편의를 위해서 풀기때문에 무연근이 생기는거고, 그래서 불안불안하니 무연근을 조사하는거죠.. 마찬가지로 무리방정식에서도 위와 같이 적용됩니다.
13/12/04 02:55
답변 감사합니다. 그치만 제가 궁금한건 마찬가지의 메커니즘을 연립방정식에 대해서도 궁금해서 질문한것이라서요.
말씀하신 분수방정식이나 무리방정식의 경우처럼 말이에요.
13/12/04 02:58
x = -12일 경우 y는 허수가 됩니다.
포물선과 타원이라고 명시했으니 허근을 제외하고 답을 해야겠죠. 단순히 두 식을 놓고 복수수 범위에서 풀어라 하면 x = -12도 답이 포함해야 됩니다. 아무 얘기 없으면 실수 범위에서 찾으면 될 겁니다. 식을 변형하거나 대입, 치환할 때 원칙?기본?은 변수의 범위를 표시합니다. x^4 - x^2 +2 = 0 에서 루트x 를 y로 치환했다 치면 y^2 - y + 2 = 0, (y>=0) 이렇게 달아줍니다. 혼자 풀 땐 귀찮으니 마지막에 대입해봐서 안 되는 걸을 빼면 되는데, 아무튼 원래는 저렇게 합니다.
13/12/04 03:02
사실 기본적으로는 [복소수]때문입니다.
위에 예로 드신 연립방정식을 보면 실제로 x=-12를 대입해도(따라서 x^2 = 144, y^2 = -96) 타원의 식이 성립합니다. 즉, 정의역의 범위를 복소수로 확장한다면 x=-12도 답이 될 수 있습니다. (라고 했더니 깨비님이 먼저 다셨네요.) 덧. 질문자님이 원하시는 답을 전문용어를 사용해서 말씀드리면 [실수체가 algebraically closed가 아니라서] 그렇습니다. 라고 해봤자 못 알아들으시겠죠.....................;;;
13/12/04 03:14
제가 복소수에 대해서는 아는바가 없어서 그랬던것 같네요.
그렇다면 복소평면에서는 x = -12 역시 타원과 포물선의 교점인건가요?
13/12/04 12:04
그 전문용어는 현대대수학에서 배우나요?
타과생인데 고등미적분학은 배웠고, 선형대수랑 +α 로 더 들을 거 찾아보고 있는데, 뭔가 끌리네요.
13/12/04 03:07
일일이 답변 달지 못해서 죄송합니다. 많이 참고가 됐습니다
연립방정식이라는게 너무 일반적인 개념이라서 질문 자체가 내공이 부족해서 한, 그래서 꽤나 모호한것 같네요. 늦은밤에 답변해주신분들 모두 감사합니다.
13/12/04 10:13
고등학교 수학에서 나오는 무연근은 제곱해서 음수가 나오는 경우 분모가 0이 되게하는 경우 이렇게 크게 두가지에요
무연근이란건 저 식을 성립시키는 값이긴 하지만 정의역의 범위를 벗어난 값이라 근이 될 수 없는 것이에요 그래서 문제 풀기전에 x값의 범위 y값이 나올 수 있는 범위 생각 해 놓고 풀어야지요
13/12/04 11:06
연립 방정식을 푼다는건 두 방정식의 해집합을 구해서 교집합에 속하는 원소를 찾는 것인데 대입법은 이와는 조금 다릅니다. 한방에 공통해를 찾는다기보다 공통해가 안되는걸 제외하는거죠.(공통해라면 y^2의 값이 같다는 성질을 위의 질문예에서 사용한겁니다.) 2차가 아닌 고차 연립방정식을 연립해서 대입해보면 복잡해집니다. 2차는 연립한 상황에서 가능한 해를 나열하는게 워낙 쉬워서 별 문제 없는거고요.
간단히 말해서 대입법을 쓰기때문에 무연근이 생기는겁니다.
13/12/04 11:44
작성자분이 생각하신 궁금증이 복소수라는 개념을 발견했죠.
어떤 책에서 읽은건데요.(제목은 기억이 안납니다ㅠ) 복소수까지 하면 그런 답이 없는 경우는 발생하지 않는 완전히 닫힌 수체계가 되거든요. 음수가 없던 시절에는 1-2의 답은 구할수 없었습니다. 당시 수학자들은 이게 매우 답답하고 어이가 없는겁니다.(작성자분과 같은 고민을 했죠) 그래서 음수라는 개념을 만들었습니다. (엄밀히 말하면 만든게 아니라 발견한것) 비슷하게 1 나누기 3이라는 계산의 답을 못구해서 유리수라는 개념을 만들었고, x^2=2의 해를 구할수 없어서 무리수도 만들어 졌습니다. 그렇게 결국에 복소수까지 온겁니다. 복소수 부터는 더이상 그런 경우가 없어서 새로운 수를 만들 필요가 없어졌죠.
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