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Date 2022/07/23 13:48:18
Name 배려
Subject [질문] 간단한 확률 계산 질문입니다.
안녕하세요.
수포자에 가까운 사람인데... 심심해서 간단한 게임 내 확률 계산하다가 뭔가 느낌이 이상해서 질문 올려봅니다.

1. 상자 안에 각기 다른 색깔의 공이 3개 있다.
2. 상자 안에 공을 한 개 꺼내서 색을 확인하고 다시 상자에 넣는다.
3. 2번을, 모든 색(3가지 색)을 한 번씩 뽑을 때까지 반복한다.
4. 모든 색을 확인하기 위한 최소 기대 시행 횟수(?)는 얼마인가.

단순히 생각해서 1/3 확률인 공을 각각 뽑으면 되니까(3번) 1/27...즉 최소 27번을 뽑아야 다른 색 한개씩 뽑을 수 있다는 건가? 싶다가도
'내가 오묘한 확률 문제를 이렇게 간단하게 답을 낼 수 있을리가 없는데?' 싶은 생각이 들어서 불안감에 질문을 남겨봅니다.

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22/07/23 13:57
수정 아이콘
문제가 이상한데요.. 4번 질문만해도 그냥 답은 3아닌가요
A,B,C공이 섞여있고 이걸 원하는 순서대로 뽑는게 아니면 2/9의 확률로 3번만에 뽑아낼 수 있을거 같은데요.
만약 A,B,C순서대로 뽑아내야한다면 1/27확률로 3번만에 뽑아내는것이고.. 3번뽑는행위를 1번시행한다고쳤을때 27번의 시행하면 1번정도는 A,B,C순서대로 뽑혀나오겠죠..
22/07/23 14:02
수정 아이콘
아 맞습니다. 질문의 의도가 최소한이 아니었네요. 잘 모르니 질문도 개떡같........ㅠㅠ
색의 순서는 상관없고, 서로 다른 색을 최소 한 번씩 뽑게되는 일반적인(?) 평균 시행 횟수 기대값(?) 같은 것을 구하려다가 질문 올린거였습니다.
22/07/23 13:59
수정 아이콘
최소는 3입니다.
최대는 무한히 안 나올 수 있겠죠..
22/07/23 14:16
수정 아이콘
3 종류가 최소 한 번은 다 나오는 횟수의 기대값이 궁금하신거죠?

3번째 색깔이 딱 나오는 그 시점의 횟수를 x라고 하면 그 확률은 ((2/3)^(x-1) - 2*(1/3)^(x-1)) 이 됩니다. x-1번의 시행동안 마지막 색깔을 제외한 두 종류 공만 나올 확률이 (2/3)^(x-1)인데, 그 중에 두 가지 예외 케이스 (한 종류만 계속 나오는 경우) 를 빼 주면 저렇게 됩니다.

기대값은 이제 sigma (x * 확률) 이고 x=3부터 무한대까지 잘 더해주면 됩니다. wolframalpha에 넣어보니 5.5가 나오네요. 정답은 5.5번입니다.
22/07/23 14:42
수정 아이콘
헐....생각보다 더 복잡하게 계산해야 하는군요. 제 산수 지식을 넘어서는 것 같아서...송구합니다. 어쨌거나 질게에 올려보길 잘했네요.
감사합니다! 그리고 답변 해주신 모든 분들께 감사드립니다!
실바너
22/07/23 16:12
수정 아이콘
쉽게 구하면 1+3/2+3/1=5.5입니다. Geometric distribution의 기댓값이 1/p인 것을 이용하면 의외로 간단하게 풀 수 있어요.
22/07/23 18:01
수정 아이콘
오 이게 이렇게 되는건가보군요
1차: 1번에 무조건 성공
2차: 2/3 확률로 다른 색이 나오니까 시도 횟수 측면에서는 3번 뽑으면 그 중 2번은 1차와 다른 색이 나옴 = 1.5번 뽑아야 1차와 다른 색 나옴
3차: 1/3 확률로 다른 색이 나오니까 시도 횟수 측면에서는 3번 뽑으면 그 중 1번은 1차와 다른 색이 나옴 = 3번 뽑아야 1,2차와 다른 색 나옴
그래서 1+1.5+3 = 5.5
22/07/23 16:45
수정 아이콘
처음 한번 뽑고 + 처음 색이 아닌 다른 색을 뽑을 기대값 + 첫번째와 두번째가 아닌 색을 뽑을 기대값

1 + 3/2 + 3/1

= 5.5
22/07/24 01:54
수정 아이콘
오 기대값으로 하면 5.5군요..

아주아주 어렵게 다시 풀어봤습니다 크크
a(n)을 n번까지 시행했음에도 2가지 색만 나올 확률이라고 보면
a(n) = (n-1)번시행까지 1가지색만 나올확률 x n번째에 나머지 2가지색깔중 하나를 뽑을 확률 (즉, 2/3)
+ a(n-1) x n번째에 이미 뽑힌 두가지 색중 하나를 뽑을 확률 (즉, 2/3)
= 1 / 3^(n-2) x (2/3) + a(n-1) x (2/3)
a(n)수열의 초기항은 n=2부터 시작하고, a(2) = 2/3이므로
위 점화식을 풀어보면 a(n) = ( 2^n - 2 ) / 3^(n-1) 이 됩니다.

b(n)을 n번째 시행에서 비로소 3가지색이 나올 확률이라고 할때
b(n) = a(n-1) x n번째 시행에서 앞의 두색과 다른 하나를 뽑을 확률 (즉, 1/3)
= ( 2^(n-1) - 2 ) / 3^(n-1)이 됩니다. 이는 위의 hodduc님의 식 ((2/3)^(x-1) - 2*(1/3)^(x-1))과 같습니다.

이후 hodduc의 계산과 동일하게. 5.5!
22/07/24 07:35
수정 아이콘
세상에 저에게 이러시는 이유가 있으실거 아니에요.... 농담이고요. 정성스러운 답변 감사합니다. 흐흐. 천천히 해독해보겠습니다.
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